PERSAMAAN GERAK

PERSAMAAN GERAK

Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang.
Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut VEKTOR POSISI yang ditulis dalam Vektor satuan.
VEKTOR SATUAN.


/ / = /  / = /  / = 1

 adalah vektor satuan pada sumbu x.
 adalah vektor satuan pada sumbyu y.
 adalah vektor satuan pada sumbu z.


POSISI TITIK MATERI PADA SUATU BIDANG DATAR.

   
       

   


Posisi titik materi ini dapat dinyatakan dengan :  = x  + y


   

Contoh :  = 5  + 3
Panjang r ditulis /  / = / 0A /
/  / =
        =
        =  satuan

POSISI TITIK MATERI PADA SUATU RUANG.


   

Posisi titik materi ini dapat dinyatakan dengan :  = x  + y  + z
Contoh :  = 4  + 3  + 2
Panjang vektor  ditulis /  /
/  / =
        =
        =  satuan





KECEPATAN SUATU TITIK MATERI.
Gerakan titik materi secara keseluruhan dapat diamati jika posisinya setiap saat diketahui. Seberapa cepat letak titik materi itu berubah setiap saat disebut : KECEPATAN .

PERHATIKAN.
Titik materi yang bergerak dari A yang posisinya 1 pada saat t1, ke titik B yang posisinya 2 pada saat t2.
Vektor perpindahannya  dan selang waktu yang dipergunakan titik materi untuk bergerak dari A ke B adalah
Kecepatan rata-rata didefinisikan :


   

Pada persamaan di atas tampak bahwa kecepatan rata-rata tidak tergantung pada lintasan titik materi, tetapi tergantung dari posisi awal (  ) dan posisi akhir (). Jika ingin diketahui kecepatan titik materi pada suatu saat misal saat titik materi berada di antara A dan B, digunakan kecepatan sesaat.


Kecepatan sesaat didefinisikan :
Secara matematis ditulis sebagai :

Jadi kecepatan sesaat merupakan turunan pertama dari posisi terhadap waktu (t)
Besarnya kecepatan disebut dengan laju

Laju didefinisikan sebagai :
Laju dapat pula berarti panjang lintasan dibagi waktu yang bersangkutan.
Nilai dari komponen kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan grafik yang dibentuk oleh komponen posisi ( r ) terhadap waktu ( t ).
Persamaan kecepatan sesaat dari grafik di samping di dapat :
v1 = tg a1
v2 = tg a2
Makin besar derajat kemiringannya makin besar pula harga kecepatannya.
Posisi dari suatu titik materi yang bergerak merupakan fungsi waktu, oleh karena itu, vektor posisi  dapat ditulis sebagai  =  ( t ) artinya  merupakan fungsi waktu ( t ).
Kecepatan titik materi pada sebuah bidang datar/ruang dapat ditulis :


   

                   


   

X, Y, Z merupakan fungsi dari waktu.

Sebaliknya untuk menentukan posisi titik materi jika diketahui fungsi kecepatannya maka dapat diselesaikan dengan INTEGRAL ( kebalikan dari deferensial ).

Contoh :
v(t)  = 2 t  +  5 m/det
maka persamaan posisi titik materi tersebut adalah ......
 =
         
 =  t 2  +  5 t  +  C  meter
Dengan C adalah suatu konstanta.
Harga C dicari dengan suatu syarat batas tertentu, misalnya :
t = 0  (t) = 0 maka harga C dapat dihitung C = 0

PERCEPATAN
Kecepatan titik materi dapat berubah-ubah setiap saat baik besar, atau arah, ataupun kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepatan yang dialami oleh titik materi tersebut.
Jika pada saat t1 kecepatan v1 dan pada saat t2 kecepatannya v2, percepatan rata-ratanya dalam selang waktu  D t = t 2 -t 1   didefinisikan sebagai :


   





Percepatan sesaatnya :


   

Percepatan merupakan tutunan pertama dari kecepatan terhadap waktu (t) atau turunan kedua dari posisi terhadap waktu (t).
Kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan komponen grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t).


dari grafik di samping besar percepatan sesaat :
 a 1  =  tg  a 1
 a 2  =  tg  a 2

Percepatan dalam arah masing-masing sumbu dalam bidang/ruang dapat dituliskan sebagai :
Sebaliknya untuk menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan terhadap waktu dengan cara mengintegralkan :



   




PERSAMAAN GERAK

Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang.
Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut VEKTOR POSISI yang ditulis dalam Vektor satuan.
VEKTOR SATUAN.


/ / = /  / = /  / = 1

 adalah vektor satuan pada sumbu x.
 adalah vektor satuan pada sumbyu y.
 adalah vektor satuan pada sumbu z.


POSISI TITIK MATERI PADA SUATU BIDANG DATAR.

   
   
   

   
   

   


Posisi titik materi ini dapat dinyatakan dengan :  = x  + y


   

Contoh :  = 5  + 3
Panjang r ditulis /  / = / 0A /
/  / =
        =
        =  satuan

POSISI TITIK MATERI PADA SUATU RUANG.


   

Posisi titik materi ini dapat dinyatakan dengan :  = x  + y  + z
Contoh :  = 4  + 3  + 2
Panjang vektor  ditulis /  /
/  / =
        =
        =  satuan





KECEPATAN SUATU TITIK MATERI.
Gerakan titik materi secara keseluruhan dapat diamati jika posisinya setiap saat diketahui. Seberapa cepat letak titik materi itu berubah setiap saat disebut : KECEPATAN .

PERHATIKAN.
Titik materi yang bergerak dari A yang posisinya 1 pada saat t1, ke titik B yang posisinya 2 pada saat t2.
Vektor perpindahannya  dan selang waktu yang dipergunakan titik materi untuk bergerak dari A ke B adalah
Kecepatan rata-rata didefinisikan :


   

Pada persamaan di atas tampak bahwa kecepatan rata-rata tidak tergantung pada lintasan titik materi, tetapi tergantung dari posisi awal (  ) dan posisi akhir (). Jika ingin diketahui kecepatan titik materi pada suatu saat misal saat titik materi berada di antara A dan B, digunakan kecepatan sesaat.


Kecepatan sesaat didefinisikan :
Secara matematis ditulis sebagai :

Jadi kecepatan sesaat merupakan turunan pertama dari posisi terhadap waktu (t)
Besarnya kecepatan disebut dengan laju

Laju didefinisikan sebagai :
Laju dapat pula berarti panjang lintasan dibagi waktu yang bersangkutan.
Nilai dari komponen kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan grafik yang dibentuk oleh komponen posisi ( r ) terhadap waktu ( t ).
Persamaan kecepatan sesaat dari grafik di samping di dapat :
v1 = tg a1
v2 = tg a2
Makin besar derajat kemiringannya makin besar pula harga kecepatannya.
Posisi dari suatu titik materi yang bergerak merupakan fungsi waktu, oleh karena itu, vektor posisi  dapat ditulis sebagai  =  ( t ) artinya  merupakan fungsi waktu ( t ).
Kecepatan titik materi pada sebuah bidang datar/ruang dapat ditulis :


   

                   


   

X, Y, Z merupakan fungsi dari waktu.

Sebaliknya untuk menentukan posisi titik materi jika diketahui fungsi kecepatannya maka dapat diselesaikan dengan INTEGRAL ( kebalikan dari deferensial ).

Contoh :
v(t)  = 2 t  +  5 m/det
maka persamaan posisi titik materi tersebut adalah ......
 =
         
 =  t 2  +  5 t  +  C  meter
Dengan C adalah suatu konstanta.
Harga C dicari dengan suatu syarat batas tertentu, misalnya :
t = 0  (t) = 0 maka harga C dapat dihitung C = 0

PERCEPATAN
Kecepatan titik materi dapat berubah-ubah setiap saat baik besar, atau arah, ataupun kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepatan yang dialami oleh titik materi tersebut.
Jika pada saat t1 kecepatan v1 dan pada saat t2 kecepatannya v2, percepatan rata-ratanya dalam selang waktu  D t = t 2 -t 1   didefinisikan sebagai :


   





Percepatan sesaatnya :


   

Percepatan merupakan tutunan pertama dari kecepatan terhadap waktu (t) atau turunan kedua dari posisi terhadap waktu (t).
Kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan komponen grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t).


dari grafik di samping besar percepatan sesaat :
 a 1  =  tg  a 1
 a 2  =  tg  a 2

Percepatan dalam arah masing-masing sumbu dalam bidang/ruang dapat dituliskan sebagai :
Sebaliknya untuk menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan terhadap waktu dengan cara mengintegralkan :

Read More

GRAFITASI

GRAFITASI

Sir Isaac Newton yang terkenal dengan hukum-hukum Newton I, II dan III, juga terkenal dengan hukum Grafitasi Umum. Didasarkan pada partikel-partikel bermassa senantiasa mengadakan gaya tarik menarik sepanjang garis yang menghubungkannya, Newton merumuskan hukumnya tentang grafitasi umum yang menyatakan :
Gaya antara dua partikel bermassa m1 dan m2 yang terpisah oleh jarak r adalah gaya tarik menarik sepanjang garis  yang menghubungkan kedua partikel tersebut, dan besarnya dapat dinyatakan dengan persamaan :
F = G
F = Gaya grafitasi, satuan : NEWTON.
G = Konstanta grafitasi, besarnya :
G = 6,67 x 10-11
m = massa benda, satuan : KILOGRAM
r = jarak antara kedua partikel, satuan : METER
Gaya grafitasi adalah besaran vektor yang arahnya senantiasa menuju pusat massa partikel.

Untuk gaya grafitasi yang disebabkan oleh beberapa massa tertentu, maka resultan gayanya ditentukan secara geometris. Misalnya dua buah gaya F1 dan F2 yang membentuk sudut resultante gayanya dapat ditentukan berdasarkan persamaan :

Read More

GERAK HARMONIK

GERAK  HARMONIK

Benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan, mempunyai percepatan yang tetap, Ini berarti pada benda senantiasa bekerja gaya yang tetap baik arahnya maupun besarnya. Bila gayanya selalu berubah-ubah, percepatannyapun berubah-ubah pula.
Gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut Gerak Periodik. Gerak periodik ini selalu dapat dinyatakan dalam fungsi sinus atau cosinus, oleh sebab itu gerak periodik disebut Gerak Harmonik. Jika gerak yang periodik ini bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama disebut Getaran atau Osilasi.

Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh satu lintasan bolak-balik disebut Periode, sedangkan banyaknya getaran tiap satuan waktu disebut Frekwensi. Hubungan antara periode (T) dan frekwensi (f) menurut pernyataan ini adalah :
Satuan frekwensi dalam SI adalah putaran per detik atau Hertz (Hz). Posisi pada saat resultan gaya bekerja pada partikel yang bergetar sama dengan nol disebut posisi seimbang.
Perhatikan sebuah benda massanya m digantungkan pada ujung pegas, pegas bertambah panjang. Dalam keadaan seimbang, gaya berat w sama dengan gaya pegas F, resultan gaya sama dengan nol, beban diam.
Dari kesimbangannya beban diberi simpangan y, pada beban bekerja gaya F, gaya ini cenderung menggerakkan beban  keatas. Gaya pegas merupakan gaya penggerak, padahal gaya pegas sebanding dengan simpangan pegas.
F = - k y             ;  k  tetapan pegas.
Mudah dipahami bahwa makin kecil simpangan makin kecil pula gaya penggerak. Gerakan yang gaya penggeraknya sebanding dengan simpangan disebut Gerak Harmonis ( Selaras ).
               Bila beban dilepas dari kedudukan terbawah (A), beban akan bergerak bolak balik sepanjang garis A-O-B. Gerak bolak-balik disebut getaran dan getaran yang gaya penggeraknya sebanding dengan simpangannya disebut : Gerak Harmonis.
Simpangan yang terbesar disebut Amplitudo getaran (A).
Saat simpangan benda y, percepatannya :
                                 A =
Besar energi potensialnya : Ep = ½ ky2
Ketika simpangannya terbesar energi kinetiknya Ek = 0, sedangkan energi potensialnya Ep = ½ kA2 ….. Jadi energi getarannya  E = Ep + Ek = ½ kA2 + 0
E = ½ kA2
Energi kinetik saat simpangannya y dapat dicari dengan hukum kekekalan energi.
                               E = Ep + Ek
                               Ek = E – Ep = ½ kA2 – ½ ky2

FREKWENSI (f)
                  Gerakan dari A-)-B-O-A disebut satu getaran, waktu yang diperlukan untuk melakukan satu getaran disebut PERIODE (T) dan banyaknya getaran yang dilakukan dalam satu detik disebut bilangan getar atau FREKWENSI
Dalam T detik dilakukan 1 getaran
Dalam 1 detik dilakukan getaran
                                   Jadi :   f =
Satuan T dalam detik, f dalam Hertz atau cps (cycles per sekon) atau rps (rotasi per sekon)

PROYEKSI GERAK MELINGKAR BERATURAN.
               Gerak bolak-balik piston menjadi gerak putaran pada sebuah kendaraan bermotor, gerak putar pada sebuah mesin jahit menjadi gerak bolak-balik jarum mesin jahit, menunjukkan adanya kaitan antara gerak melingkar dengan gerak harmonik.
               Gerak melingkar beraturan titik P dalam tiap-tiap saat diproyeksikan pada garis tengah MN, titik proyeksinya yakni titik Q bergerak dari O-M-O-N-O, dengan kata lain titik Q bergerak menyusuri MN bolak-balik. Apakah gerak titik Q gerak harmonik ? akan kita bahas.

                                                                          M           V
                                                                              Vv              Q

                                                                                                          V

                                                                                                         P



                                                                               
                                                                            N
Amplitudo gerak titik Q adalah R dan periodenya sama dengan periode gerak melingkar beraturan. Bila dalm t detik titik P menempuh sudut q, maka  q = w.t
Dalam waktu yang sama titik Q mempunyai simpangan : y = A sin q  à y = A sin w.t
Kecepatannya saat itu = vt = v cos q à  vt = v cos w.t   à  vt = w.A cos w.t
Percepatan saat itu : at = ac sin q   = w2 A sin w.t
Oleh karena arah percepatan ke bawah, tandanya negatif :
                                    At = -w2 A sin w.t
Bila massa titik Q adalah m, besar gaya yang bekerja pada titik itu :
                           F = m.a = -m w2 A sin w.t
                           F = - m w2 y.
m w2  adalah bilangan yang konstan ©, sehingga : F = -k.y
Persamaan terakhir menyatakan bahwa gaya yang bekerja pada titik Q sebanding dengan simpangannya. Jadi proyeksi gerak melingkar beraturan adalah GERAK HARMONIS.
Persamaan di atas gerak mulai dari titik setimbang, jika tidak maka persamaan secara umum ditulis sbb : y = A sin (w.t + qo )

PERIODE GERAK HARMONIS.

        k =  m w2     k = m     à   T =
m massa benda dalam kg, k tetapan pegas dalam N/m dan T periode getaran dalam detik.

PHASE ( j )
Gerak harmonis sederhana akan lebih mudah diketahui bila dikenal keadaannya (phasenya). Phase suatu titik yang bergetar didefinisikan sebagai waktu sejak meninggalkan titik seimbang dibagi dengan periodenya.

Bila titik Q telah bergetar t detik maka phasenya :
Sesudah bergetar ( t + T ) detik phasenya :
Keadaan titik Q sama dengan keadaan titik Q dalam hal yang pertama.
Mudah dipahami bahwa titik-titik yang phasenya  keadaannya sama.
Perbedaan phase.
Titik-titik yang phasenya sama mempunyai perbedaan phase : 0, 1, 2, 3 , 4 , ..... dst.
Titik-titik yang keadaannya berlawanan mempunyai perbedaan phase : Beberapa contoh getaran harmonis.

2.      Getaran pegas.





             Salah satu ujung sebuah pegas dijepit dan ujung lainnya diberi simpangan. Gaya pegas yang timbul akan menggerakkan pegas, makin kecil simpangan, makin kecil gaya penggeraknya. Gaya yang menggerakkan pehas sebanding dengan simpangannya, pegas melakukan gerak harmonis.

2. Gerak bandul Tunggal.

                                                            q


                                                                         


                            B                       O1                          A 
                                                      O              F1
                                                                              w = m.g

Bandul O tergantung pada tali yang panjangnya . Bandul diberi simpangan q, sudut q kecil. Bila dilepas, bandul melakukan gerak bolak-balik menyusuri AOB.
Bila massa bandul m, beratnya w = m.g. Saat bandul berada di A, gaya penggeraknya F1
F1 = m.g sin q  = m.g   karena sudut q kecil, AO1 dapat disamakan dengan : AO = y
F1 = m.g  à F1 =
 adalah bilangan tetap, jadi F1 = k.y
Hubungan yang terakhir menyatakan bahwa gaya penggerak sebanding dengan simpangannya. Bandul melakukan gerak Harmonis. Karena gerakan bandul gerak harmonik, periodenya dapat dicari dari rumus periode Gerak harmonis.

        =                 T =
T adalah waktu ayun bandul dalam detik,  panjang bandul dalam meter, dan g percepatan grafitasi dalam m/det2.







3. Gerak zat cair dalam pipa U.

   
   
   
   
   

       
       
   





                      2y                                   O
                                                                 y


   







Pipa U yang penampangnya sama (A) sebagian berisi zat cair, permukaan zat cair menempati posisi O. Bila panjang zat cair dan massa jenisnya r , massa seluruh zat cair
r.A.   Kemudian zat cair diberi simpangan y, perbedaan tinggi permukaan zat cair dalam kedua kaki menjadi 2y. Berat zat cair yang tingginya 2y merupakan gaya penggerak zat cair.
F = 2y r.A.g, sedangkan 2A r g adalah bilangan tetap k. jadi F = k.y, gaya penggerak sebanding dengan simpangannya, gerak zat cair adalah gerak Harmonis.
Periodenya dapat dicari sebagai berikut :

        T =     =            T =

TUGAS  SOAL-SOAL

1.      Sebuah benda bergetar harmonik sederhana dengan persamaan y = 5 sin ( 3p t + p /6)
y dalam meter, t dalam detik, dan besaran sudut dalam radian. Tentukan :
a. Amplitudo, frekwensi dan periode geraknya.
b. Kecepatan dan percepatan sesaat.
c. Posisi, kecepatan dan percepatan pada saat t = 2 detik.
d. Kecepatan dan percepatan maksimumnya.
e. Energi kinetik dan energi potensialnya saat t = 1 detik jika m = 100 gram.
f. Energi totalnya.

2.      Sebuah benda yang massanya 0,75 kg dihubungkan dengan pegas ideal yang konstanta pegasnya 25 N/m, bergetar pada bidang horisontal yang licin tanpa gesekan. Tentukan :
a. Energi sistem dan kecepatan maksimum benda apabila amplitudo = 4 cm.
b. Kecepatan benda pada saat simpangannya 3 cm.
c. Energi kinetik dan energi potensial sistem pada saat simpangannya 3 cm.

3.      Sebuah pegas dapat memanjang hingga 30 cm jika di tarik gaya 0,5 N. Sebuah benda yang massanya  50 gram digantungkan pada ujung pegas kemudian diberi simpangan 30 cm dari titik seimbangnya setelah itu dilepaskan, tentukanlah :
a. Periodenya.
b. Persamaan gerak dari benda tersebut.
c. Kecepatan, percepatan, energi kinetik, energi potensial pada saat simpangannya
    20 cm.

4. Dua getaran selaras masing-masing dinyatakan dengan persamaan :
y1 = 15 sin 8t dan y2 = 18 sin (8t + p /4)  amplitudo dalam cm. Tentukanlah :
a. Periode masing-masing getaran.
b. Beda fase kedua getaran.
c. Kecepatan dan percepatan maksimum masing-masing getaran selaras tersebut.

4.      Berapa simpangan getaran selaras yang menggetar vertikal, agar pada saat itu energi potensialnya sama dengan energi kinetiknya, jika amplitudonya 10 cm.

5.      Benda yang bermassa 100 gram bergetar selaras vertikal dengan amplitudo 5 cm dan frekwensinya 10 cps. Pada suatu ketika fasenya 1/12, maka tentukan :
a. Simpangan pada saat itu.
b. Gaya yang bekerja pada saat itu.
c. Energi potensial terhadap kedudukan setimbang pada saat itu.
d. Kelajuan dan perlajuan benda pada saat itu.
e. Energi kinetik benda pada saat itu.

6.      Ditentukan persaman gerak getar adalah y = 10 sin 50pt,  y dalam cm dan t dalam detik. Ditanyakan :
a. Persamaan percepatannya.
b. Percepatan maksimumnya.
c. Bila suatu saat fasenya = 1/5, telah berapa detik benda bergetar.
d. Hitung panjang simpangan pada saat soal 8c.
e. Hitung besarnya kecepatan getar pada saat t = 1/75 detik.

7.      Kecepatan maksimum suatu gerak harmonis sederhana 7 m/s dan percepatan maksimumnya 20 m/s2. Hitunglah amplitudonya.

8.      Suatu benda melakukan GHS pada saat simpangannya 10 cm di atas titik setimbang mempunyai kecepatan ½ kali kecepatan maksimumnya arah geraknya ke bawah, sedang percepatan maksimum GHS adalah 8000p2 cm/s2 Hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai itu.

9.      Sebuah benda digantungkan dengan tali yang panjangnya 1,6 m. Berapa detik waktu yang diperlukan untuk melakukan 100 ayunan.

10.  Untuk mengukur percepatan grafitasi bumi dilakukan percobaan sebagai berikut : sebuah bandul diikat dengan tali yang panjangnya 1 meter, kemudian diberi simpagan dan dilepas. Ternyata dalam 100 detik bandul melakukan 50 ayunan. Berapakah percepatan grafitasi bumi.


KUNCI JAWABAN.
1. a) A = 5 m,    f = 1,5 hz,      T = det
    b) v = 15 p cos ( 3pt+30)
        a = -45 p2 sin (3pt+30)
    c) v =    m/s
        a = - m/s2

    d) vmaks = 15 p m/s
        amaks = -45  p2  m/s2
    e) Ep = 11,25  p2  m/s2
        Ek = p2 J
    f) EM =  p2   J

2. a) EM = 0,02 J
        vmaks =   m/s
    b) v =  m/s
    c) Ek =   J
        Ep = 0.01125  J

3. a) T = 0,2 n
    b) y = 30 sin ( t +  )
    c) v = m/s,     a = - m/s,
        Ek = J,     Ep = J

4. a) T1 = p det,      T2 = p det

   b)
   c) v maks = 120 cm/s
       v maks = 144 cm/s
 
5. y =  cm dari titik seimbang

6. a) y = 2,5 cm
    b) F = - p2 N
    c) Ep = 1,25 . 10-2 p2  J
    d) v = 0,5 pm/s,      a = -10p2  m/s
    e) Ek = 0,0375 p2  J

7. a) a = -25.000 p2  sin 50 nt
    b) a maks = -25.000 p2   cm/s2
    c)  t =
    d) y = 9,5 cm
    e) v = -250 cm/s

8.

9. 8 p detik


10. p2 m/s2

Read More