Matriks

Pengertian Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang tersusun dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.





Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital ditebalkan (misal matriks A, dituliskan dengan A). Sebagai contoh matriks, perhatikan tabel yang memuat informasi biaya pengiriman barang dari 3 pabrik ke 4 kota berikut ini:

Pabrik
   
Kota
Kota 1
   
Kota 2
   
Kota 3
   
Kota 4
Pabrik 1
   
5
   
2
   
1
   
4
Pabrik 2
   
2
   
3
   
6
   
5
Pabrik 3
   
7
   
6
   
3
   
2


Tabel di atas jika disajikan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut:



   
Kolom1
   
Kolom2
   
Kolom3
   
Kolom4
   

   
5
   
2
   
1
   
4
   
Baris1
A =
   
2
   
3
   
6
   
5
   
Baris2

   
7
   
6
   
3
   
2
   
Baris3

Matriks di atas, kita sebut saja matriks A, memiliki tiga baris yang mewakili informasi Pabrik (1, 2, dan 3) dan empat kolom yang mewakili informasi Kota (1, 2, 3, dan 4). Sedangkan informasi biaya pengiriman dari masing-masing pabrik ke tiap-tiap kota, diwakili oleh perpotongan baris dan kolom. Sebagai contoh, perpotongan baris 1 dan kolom 1 adalah 5, angka 5 ini menunjukkan informasi biaya pengiriman dari pabrik 1 ke kota 1, dst. Secara umum, bentuk matriks di atas dapat dituliskan seperti berikut:




   
a11
   
a12
   
a13
   
a14
A =
   
a21
   
a22
   
a23
   
a24

   
a31
   
a32
   
a33
   
a34


dimana, pada notasi elemen matriks, angka sebelah kiri adalah informasi baris sedangkan angka di kanan adalah informasi kolom, contoh a23 berarti nilai yang diberikan oleh baris ke-2 dan kolom ke-3.
Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital  A , B , C ,. . . .  dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.


 Contoh :


Matriks  A  mempunyai  dua  baris  dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A  berordo  2 x 3 ditulis  A2x3 atau  ( a23 ) .Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.

Jenis-jenis Matrik 
Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

    Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya  kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.

          Contoh :

    Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

          Contoh :    A =  ( 2  1  3  -7 )

    Matriks Kolom adalah  Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

          Contoh :  
                           

    Matriks Tegak  adalah  suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

          Contah :

    Matriks datar adalah Matriks  yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

       Contoh :




Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks  dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

    Matriks Nol adalah Suatu matriks   yang setiap unsurnya 0 berordo  m x n, ditulis dengan huruf  O.

        contoh :

    Matriks Diagonal adalah  suatu matriks bujur sangkar yang  semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

       Contah : 

    Matriks Segi Tiga adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

       Contoh :


       Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.


    Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

       Contoh :


    Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf  I.

       Contoh :


    Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j  sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

       Contoh :

Read More

Fungsi Kuadrat

BENTUK UMUM

y = f(x) = ax2 + bx + c

x variabel bebas; y variabel tak bebas;
a,b,c konstanta ; a ¹ 0


NILAI EKSTRIM

Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a)² - D/4a

Dapat disimpulkan : y ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2a

Dapat disimpulkan :

y = a(x - x ekstrim)² + y ekstrim
Ket: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimum          tergantung dari nilai a.

Tanda dari a
a     Parabola Terbuka     Grafik
a > 0     Ke atas
Mempunyai nilai minimum    
a < 0     Ke bawah
Mempunyai nilai maksimum    
GRAFIK

Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah PARABOLA.
Untuk melukiskannya harus diperhatikan

1) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-X

    y=O ® ax²+ bx + c = 0 (bentuk Persamaan Kuadrat)

KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN
Diskriminan PK     Akar PK     Titik Potong Dengan Sumbu x     Grafik
D > 0     2 akar berlainan     2 titik potong    
D = 0     akar kembar     1 titik potong (titik singgung)
D < 0     tidak ada akar     Tidak ada titik potong

2) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-Y

x=0 ® y=c ® (0, c)

KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN
c > 0
   
c < 0
   
c = 0
   
   
memotong sumbu y di atas
   
memotong sumbu y di bawah
   
melalui titik (0,0)

3. SUMBU SIMETRI

(Garis sejajar sumbu-y yang menjadikan parabola simetris).

Persamaan sumbu simetri  x = -b/2a
Ket. : Dari sumbu simetri ini dapat ditentukan tanda dari b.

4. TITIK PUNCAK

Puncak (-b/2a , -D/4a)

5. UNTUK MELENGKAPI GRAFIK, DIAMBIL BEBERAPA NILAI X DAN Y     SECUKUPNYA
KOMBINASI TANDA a dan D
a>0
    a<0
Ket :
Untuk D < 0 dan a > 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x.
(fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF).

Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x.
(fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP).
   
BENTUK UMUM

y = f(x) = ax2 + bx + c

x variabel bebas; y variabel tak bebas;
a,b,c konstanta ; a ¹ 0


NILAI EKSTRIM

Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a)² - D/4a

Dapat disimpulkan : y ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2a

Dapat disimpulkan :

y = a(x - x ekstrim)² + y ekstrim
Ket: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimum          tergantung dari nilai a.

Tanda dari a
a     Parabola Terbuka     Grafik
a > 0     Ke atas
Mempunyai nilai minimum    
a < 0     Ke bawah
Mempunyai nilai maksimum    
GRAFIK

Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah PARABOLA.
Untuk melukiskannya harus diperhatikan

1) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-X

    y=O ® ax²+ bx + c = 0 (bentuk Persamaan Kuadrat)

KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN
Diskriminan PK     Akar PK     Titik Potong Dengan Sumbu x     Grafik
D > 0     2 akar berlainan     2 titik potong    
D = 0     akar kembar     1 titik potong (titik singgung)
D < 0     tidak ada akar     Tidak ada titik potong

2) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-Y

x=0 ® y=c ® (0, c)

KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN
c > 0
   
c < 0
   
c = 0
   
   
memotong sumbu y di atas
   
memotong sumbu y di bawah
   
melalui titik (0,0)

3. SUMBU SIMETRI

(Garis sejajar sumbu-y yang menjadikan parabola simetris).

Persamaan sumbu simetri  x = -b/2a
Ket. : Dari sumbu simetri ini dapat ditentukan tanda dari b.

4. TITIK PUNCAK

Puncak (-b/2a , -D/4a)

5. UNTUK MELENGKAPI GRAFIK, DIAMBIL BEBERAPA NILAI X DAN Y     SECUKUPNYA
KOMBINASI TANDA a dan D
a>0
    a<0
Ket :
Untuk D < 0 dan a > 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x.
(fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF).

Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x.
(fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP).

Menentukan Fungsi Kuadrat
Pada umumnya grafik suatu fungsi kuadrat y = ax² + bx + c akan tertentu jika diketahui 3 titik yang dilaluinya. Hal khusus jika melalui titik puncak, cukup diketahui melalui 2 titik saja.



diketahui melalui
   
misalkan fungsi
1)Tiga titik sembarang (x1,y1) ; (x2,y2) dan (x3,y3)     y = ax² + bx + c
(a = ? ; b=? ; c = ?)
2) Titik potong dengan sumbu x
(x1,0) ; (x2,0) serta sebuah titik sembarang (x3,y3)     y = a (x - x1) (x - X2)
( a = ? )
3) Titik Puncak (xp, yp)
dan sebuah titik sembarang (X2,Y2)     Y = a (x - xp)² + yp
( a = ? )

Ket:
Dengan mensubstitusi titik-titik yang dilalui dan menyelesaikan persamaannya maka nilai a, b dan c yang dibutuhkan dapat dicari, sehingga fungsi kuadrat yang dimaksud dapat ditentukan.

Read More

Bangun Datar dan Bangun Ruang

BANGUN DATAR


Ø PERSEGI  EMPAT






Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk (a) yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku. Persegi dulu disebut sebagai bujur sangkar.
Sifat-sifat persegi
     a. Semua sisi persegi adalah sama panjang.
     b. Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonaldiagonalnya.
     c. Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang membentuk
           sudut siku - siku
     d. Mempunyai 4 sumbu simetri
     e. Menempati bingkainya dengan 8 cara
Rumus persegi
Persegi dengan rusuk a dan diameter d
Keliling
k=4.a 
 Luas
L= a2
Panjang diagonal

d = a\cdot \sqrt{2}

Ø PERSEGI  PANJANG




   





Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.
Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang (p) dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar (l).
Persegi panjang yang keempat rusuknya sama panjang disebut sebagai persegi
Sifat-sifat persegi panjang
  a. Mempunyai empat sisi, dengan sepasang sisi yang berhadapan sama panjang dan
        sejajar.
  b. Keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut sikusiku (900).
  c. Kedua diagonalnya sama panjang dan berpotongan membagi dua sama besar.
  d. Dapat menempati bingkainya kembali dengan empat cara.
  e. Mempunyai 2 simetri lipat / sumbu simetri
Rumus persegi panjang
Persegi panjang.JPGKeliling
K = 2\cdot (p + l)
k : keliling2156 p : panjang l : lebar
Luas
L = p\cdot l
Panjang diagonal
d = \sqrt{p^2 + l^2}

Ø SEGITIGA



Segitiga adalah suatu bangun datar yang jumlah sudutnya 1800 dan dibentuk dengan cara
menghubungkan tiga buah titik yang tidak segaris dalam satu bidang.
Jenis-jenis Segitiga :
a. Segitiga Sama Sisi
Segitiga yang ketiga sisinya sama panjang
                               A
             Panjang AB = BC =CA
            ∠A = ∠B = ∠C = 600
∠A + ∠B + ∠C = 1800
                                              
b. Segitiga Sama Kaki
Segitiga yang mempunyai dua sudut yang sama dan dua buah sisi yang sama.


   

                          Panjang AC = CB
                            Sudut ∠ A = ∠B
                         ∠A + ∠B + ∠C = 1800

c. Segitiga Siku-siku
Segitiga yang salah satu sudutnya 900
∠A = 900




c. Segitiga Sembarang  
                                                          - Ketiga sisinya tidak sama panjang ( AB ≠ BC≠ AC )
                                                    - Ketiga sudutnya tidak sama besar ( ∠A ≠ ∠B ≠ ∠ C )
- ∠A + ∠B + ∠C = 1800
                                                          

    Rumus Segitiga
    Luas = ½ x a x t
    dengan a = panjang alas segitiga, dan t = tinggi segitiga
    Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)

Ø JAJAR GENJANG


   





Jajar genjang atau Jajaran genjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.
Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.
D


   
C


BA           

*      AB sejajar CD ( AB CD )AD sejajar BC ( AD BC )
*      sisi yang sejajar sama panjang  A B AB = CD ; AD = BC
*      Sudut ∠ A = ∠C ∠ B = ∠D
 Rumus jajar genjang
Keliling
K = 2\cdot alas + 2\cdot sisi miring
Luas
L = jumlah dua sisi sejajar \cdot tinggi





Ø TRAVESIUM


   





Trapesium adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua diantaranya saling sejajar namun tidak sama panjang.
Trapesium termasuk jenis bangun datar segi empat.
Trapesium yang rusuk ketiganya tegak lurus terhadap rusuk-rusuk sejajar disebut trapesium siku-siku.
Jenis-jenis travesium
Trapesium terdiri dari 3 jenis, yaitu:
1.      Trapesium sembarang, yaitu trapesium yang keempat rusuknya tidak sama panjang. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat maupun simetri putar.



2.       Trapesium sama kaki, yaitu trapesium yang mempunyai sepasang rusuk yang sama panjang, di samping mempunyai sepasang rusuk yang sejajar. Trapesium ini memiliki satu simetri lipat dan satu simetri putar.


3.       Trapesium siku-siku, yaitu trapesium yang mana dua di antara keempat sudutnya merupakan sudut siku-siku. Rusuk-rusuk yang sejajar tegak lurus dengan tinggi trapesium ini.





Rumus trapesium
Keliling
K = jumlahdarikeempatsisiyangada
Luas
L = \frac{JumlahRusukSejajar.tinggi}{2}\,


Ø LAYANG - LAYANG


   











Layang-layang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing pasangannya sama panjang dan saling membentuk sudut.
Layang-layang dengan keempat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.
Rumus Layang-layang
Keliling
K = 2\cdot s_1 + 2\cdot s_2
Luas
L= \tfrac{1}{2} \cdot d_1\cdot d_2



Ø BELAH  KETUPAT


   








Belah ketupat adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.
Belah ketupat dapat dibangun dari dua buah segitiga sama kaki identik yang simetri pada alas-alasnya.
Rumus belah ketupat
Keliling
K = 4\cdot s
Luas
L = \tfrac{1}{2} \cdot d1 \cdot d2



Ø Oval: LINGKARAN


   




Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
BAGIAN-BAGIAN LINGKARAN
1.      Jari-jari lingkaran
Ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran ke sebarang titik pada lingkaran


2.      Busur Lisngkaran
Garis lengkung yang melalui titik-titik pada lingkaran




3.      Tali Busur
Ruas garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada lingkaran




4.      Diameter / Garis Tengah
Tali busur yang melalui pusat lingkaran. Panjang diameter sebuah lingkaran sama dengan dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut.

5.      Juring Lingkaran
Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran dan dua buah jari-jari lingkaran yang melalui ujung busur lingkaran tersebut




6.      Tembereng
Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur yang melalui kedua ujung busur lingkaran



7.      Apotema
Ruas garis terpendek yang menghubungkan pusat lingkaran ke sebuah titik pada tali busur.
Suatu lingkaran memiliki persamaan
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \!
dengan R\!adalah jari-jari lingkaran dan (x_0,y_0)\!adalah koordinat pusat lingkaran.
Persamaan parametrik
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
x = x_0 + R \cos(t) \!
y = y_0 + R \sin(t) \!
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran memiliki rumus
A = \pi R^2 \!
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dA = rd\theta\ dr


   
   
   

   

   
   






Luas juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;
A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!
dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.
Luas cincin lingkaran
Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam R_1\!dan jari-jari luar R_2\!, yaitu
A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!
di mana untuk R_1 = 0\!rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.
Luas potongan cincin lingkaran
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh
A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!
yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:
L = 2\pi R\!
Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
L = R \theta \!
yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva
dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!
di mana digunakan
y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!
sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda \pmmengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.
Pi atau π
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:
\pi = \frac K D







Rounded Rectangle: BANGUN RUANG

Ø KUBUS

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar. Kubus memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Kubus juga disebut bidang enam beraturan, selain itu juga merupakan bentuk khusus dalam prisma segiempat.
Ciri-ciri Kubus :
1.      Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang berbentuk bujur sangkar(ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,)
2.       Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H)
3.      Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang  (AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, AD, BC, EH, FG)
4.       Semua sudutnya siku-siku
5.       Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang(4 diagonal ruang = garis AG, BH, CE, DF12 diagonal bidang = garis AC,BD,EG,FH,AH,DE,BG,CF,AF,BE,CH,DG)







Volume (V) = s x s x s = s3
Luas (L) = 6 x s x s = 6 s2
Keliling = 12 x s
Panjang diagonal bidang = s2 + s2 = 2s2 = s 2
Panjang diagonal ruang = s2 + s2 + s2 = 3s2 = s 3


Ø BALOK



   










Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang, dengan paling tidak satu pasang diantaranya berukuran berbeda. Balok memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Balok yang dibentuk oleh enam persegi sama dan sebangun disebut sebagai kubus.

    Panjang (p) adalah rusuk terpanjang dari alas balok.
    Lebar (l) adalah rusuk terpendek dari sisi alas balok.
    Tinggi (t) adalah rusuk yang tegak lurus terhadap panjang dan lebar balok.

Ciri-ciri Balok :
1. Alasnya berbentuk segi empat
2. Terdiri dari 12 rusuk
3. Mempunyai 6 bidang sisi
4. Memiliki 8 titik sudut
5. Seluruh sudutnya siku-siku
6. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang

Volume = p x l x t
Luas = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt) }
Keliling = 4 x (p+ l + t)




Text Box: KET : diagonal bidang b-g diagonal ruang b-h Panjang diagonal ruang
d_R = \sqrt{(p^2+l^2+t^2)}
 Panjang diagonal bidang
d_{B1} = \sqrt{(p^2+l^2)}
d_{B2} = \sqrt{(p^2+t^2)}


Text Box: Ket: bidang diagonal a-b-g-h  Luas bidang diagonal
L_{B1} = d_{B1}\cdot t
L_{B2} = d_{B2}\cdot l
L_{B3} = d_{B3}\cdot p













Ø TABUNG


   







Dalam geometri, tabung atau silinder adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut. Tabung memiliki 3 sisi dan 2 rusuk.
Kedua lingkaran disebut sebagai alas dan tutup tabung serta persegi panjang yang menyelimutinya disebut sebagai selimut tabung.
Ciri-ciri :
1. Mempunyai 2 bidang sisi(1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)
2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut
*      Ada dua sisi, yaitu sisi alas dan sisi atas yang sama bentuk dan ukuran serta sejajar, masing-masing berbentuk lingkaran yang berpusat di A dan D.
*       Jarak alas dan tutup disebut tinggi tabung. Tinggi tabung dinotasikan dengan t.
*      Jari-jari lingkaran dari alas dan tutup adalah AB, sedangkan diameter nya BB' =2AB.
*      Jari-jari tabung dinotasikan dengan r, sedangkan diameter tabung dinotasikan dengan d
*      Selimut tabung merupakan bidang lengkung.
Unsur-unsur Tabung
Tabung memiliki 2 rusuk dan 3 sisi.
Jaring-jaring Tabung
Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:
a.       dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,
b.      Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_4.jpg satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.

Gambar 2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan atapnya yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.

Jaring-jaring tabung terdiri atas:
a.       Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t.
b.      Dua lingkaran dengan jari-jari r.
. Luas dan volume tabung
•Luas permukaan tabung atau luas tabung:
Luas selimutL = 2 \pi r \cdot t
Luas permukaan
L = luas sisi alas + luas sisi tutup + luas selimut
      tabung
  = π r2 + π r2 + 2 π r t

   = 2 π r2 + 2 π r t
   = 2 π r (r + t)

•Luas tabung tanpa tutup :
Ltanpa tutup = luas sisi alas + luas selimut
               = π r2 + 2 π r t
•Volume tabung :
V = luas alas x tinggi
   = π r2 x t
   = π r2 t
Ø KERUCUT


   

                                                             s
t



Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi dan 1 rusuk.
Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.
Ciri-ciri :
1. Mempunyai 2 bidang sisi(1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)
 2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut
Unsur-unsur kerucut adalah sebagai berikut.

    Sisi alas berbentuk lingkaran berpusat di titik A.
    AC disebut tinggi kerucut.
    Jari-jari lingkaran alas, yaitu AB dan diameternya BB' = 2AB.
    Sisi miring BC disebut apotema atau garis pelukis.
    Selimut kerucut berupa bidang lengkung.
    Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi .

Luas dan volume kerucut
 Luas permukaan kerucut atau luas kerucut :
L = luas sisi alas + luas selimut kerucut
   = π r2 + π r s
  = π r (r + s)
Volume kerucut :
V = 1/3 x luas alas x tinggi
    = 1/3 x π r2 x t
    = 1/3 π r2t
Ø PRISMA




Dalam geometri, prisma adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas dan tutup identik berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Dengan kata lain prisma adalah bangun ruang yang mempunyai penampang melintang yang selalu sama dalam bentuk dan ukuran.
Limas dengan alas dan tutup berbentuk persegi disebut balok sedangkan prisma dengan alas dan tutup berbentuk lingkaran disebut tabung.
Rumus Prisma
Luas permukaan
Luas permukaan prisma dengan alas dan tutup segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:
Text Box: L = 2 \cdot Luas Alas + Keliling Alas \cdot t
Volume
V = Luas Alas \cdot t









Ø LIMAS
Dalam geometri, limas adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga.
lingkaran.Kerucut dapat disebut sebagai limas dengan alas berbentuk  Limas dengan alas berupa persegi disebut juga piramida.
Ciri khas limas adalah memiliki bagian runcing di bagian atasnya sebagai titik puncak.
a.       Limas segitiga
Ciri-ciri :
1. Alasnya berbentuk segitiga
2. Mempunyai 4 bidang sisi (alas dan 3 sisi tegak)
3. Mempunyai 6 rusuk           
4. Mempunyai 4 titik sudut
b.      ALimas segiempat
Ciri-ciri :
1. Alasnya berbentuk segiempat (BCDE)
ED2. Mempunyai 5 bidang sisi(BCDE, ABC, ACD,ABEADE)
3. Mempunyai 5 titik sudut ( A, B,C,D,E)
CB4. Mempunyai 8 rusuk (AB, AC,AD,AE,BC,CD,DE,BE)
Luas permukaan
Luas permukaan limas dengan alas segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:



L = Luas Alas + n\cdot Luas Sisi Tegak
Volume
V = \frac{1}{3}\cdot Luas Alas \cdot t




Ø BOLA







Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.
Ciri-ciri :
 1. Hanya mempunyai 1 bidang sisi
2. Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk
Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter d, maka luas selimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_28.jpg








   
   
   

   
    MAKALAH MATEMATIKA


    BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG










000.jpg

Read More