Integral Tak tentu

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Perubahan tertunda ditampilkan di halaman iniBelum Diperiksa
Langsung ke: navigasi, cari
Antiderivatif

Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu.

Bila f adalah integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F'= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui Teorema dasar kalkulus, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.
Rumus

    \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).
    F(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x}+C_1\quad x<0\\-\frac{1}{x}+C_2\quad x>0\end{cases}
    \int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.

Referensi

    Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
    Historical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro; http://groups.google.com/group/sci.math/msg/814be41b1ea8c024

E-to-the-i-pi.svg      Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

Read More

Integral

Mencari nilai integral
Substitusi

    Contoh soal:
    Cari nilai dari:\int \frac{ln x}{x}\,dx\,

        t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}
        \int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt
        = \frac {1}{2} t^2 + C
        = \frac {1}{2} ln^2x + C

Integrasi parsial

    Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

        \int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)

    Contoh soal:
    Cari nilai dari: \int \ln x \,dx\,

        f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,
        Gunakan rumus di atas
        \int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,
        = x ln x - \int 1\,dx\,
        = x ln x - x + C\,

Substitusi trigonometri
Bentuk     Gunakan
\sqrt{a^2-b^2x^2}\,     x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,
\sqrt{a^2+b^2x^2}\,     \!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,
\sqrt{b^2x^2-a^2}\,     \, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,

    Contoh soal:
    Cari nilai dari: \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,

        x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,
        \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,
        = \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,
        = \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,
        = \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,
        = \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,
        = \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,
        = \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,
        = \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,
        = \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,

            Cari nilai dari: \int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\, dengan menggunakan substitusi
            t = sin A, dt = cos A\,dA\,
            \int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,
            = \int \frac{dt}{t^2}\,
            = \int t^{-2}\,dt\,
            = -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,

        Masukkan nilai tersebut:
        = \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,
        = \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,
        = -\frac {1}{4 sin A} + C\,

        Nilai sin A adalah \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}
        = -\frac {1}{4 sin A} + C\,
        = -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,

Integrasi pecahan parsial

    Contoh soal:
    Cari nilai dari: \int\frac{dx}{x^2-4}\,

        \frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\,
        = \frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4}\,
        = \frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\,
        =\frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\,

    Akan diperoleh dua persamaan yaitu A+B = 0\, dan A-B = -\frac{1}{2}
    Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,

        \int\frac{dx}{x^2-4}\,
        = \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,
        = \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\,
        = \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\,

Rumus integrasi dasar
Umum
Bilangan natural

    \int e^u du= e^u + C\,

Logaritma

    \int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C

Trigonometri

    \int\sin x\,dx = -\cos x + C\,
    \int\cos x\,dx = \sin x + C\,
    \int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,
    \int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,
    \int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,
    \int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,
    \int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,
    \int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,
    \int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,
    \int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,

Read More

DERET

Definisi Barisan :
Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.

Contoh :
1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst
2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst

Definisi deret :
Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un maka U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.

Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 +… + Un
2 + 4 + 6 + 8 +… + Un

A.    Baris dan Deret Aritmatika

Definisi baris aritmatika :
Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.
Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b
Dengan
o   a = U1= Suku pertama      
o   b = beda
o   n = banyaknya suku
o   Un = Suku ke-n


Suku pertamanya adalah 3 (a=3) dan bedanya adalah 2 (b=2), banyaknya suku ada 5 (n=5), suku ke-5 adalah 11 (U5 = 11).

Deret aritmatika adalah jumlah dari baris aritmatika.
            Contoh : 3 + 5 + 7 + 9 + 11  
o   Ut = Suku tengah
o   Sn = Jumlah n suku pertama 

Berikut adalah cara untk mengetahui nilai dari beberapa hal yang disebut di atas :
·         Beda
b = Un – Un-1
·         Suku ke-n
Un = a + (n-1)b
Un = Sn – Sn-1
·         Jumlah n suku pertama
Sn = ½ n (U1 + Un)
Sn = ½ n ( 2a + (n-1)b )
·         Nilai tengah
Ut = ½ (U1 + Un)


B.     BARIS DAN DERET GEOMETRI

Definisi barisan geometri :
            Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap r maka barisan tersebut adalah barisan geometri.bilangan tetap r disebut rasio dari barisan.

Contoh :
2,6,18,48….. adalah barisan geometri dengan rasio 3. Artinya adalah nilai pada Un = 3Un-1.
          

Definisi deret geometri :
Jika U1,U2,U3,…..Un adalah barisan geometri maka jumlah U1 + U2 + U3 +… +Un disebut deret geometri.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah :
            Sn = a( 1- rn ) / 1 – r , jika r < 1 dan
                        Sn = a( rn - 1) / r – 1 , jika r > 1

Read More