Bangun Datar dan Bangun Ruang

BANGUN DATAR


Ø PERSEGI  EMPAT






Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk (a) yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku. Persegi dulu disebut sebagai bujur sangkar.
Sifat-sifat persegi
     a. Semua sisi persegi adalah sama panjang.
     b. Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonaldiagonalnya.
     c. Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang membentuk
           sudut siku - siku
     d. Mempunyai 4 sumbu simetri
     e. Menempati bingkainya dengan 8 cara
Rumus persegi
Persegi dengan rusuk a dan diameter d
Keliling
k=4.a 
 Luas
L= a2
Panjang diagonal

d = a\cdot \sqrt{2}

Ø PERSEGI  PANJANG




   





Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.
Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang (p) dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar (l).
Persegi panjang yang keempat rusuknya sama panjang disebut sebagai persegi
Sifat-sifat persegi panjang
  a. Mempunyai empat sisi, dengan sepasang sisi yang berhadapan sama panjang dan
        sejajar.
  b. Keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut sikusiku (900).
  c. Kedua diagonalnya sama panjang dan berpotongan membagi dua sama besar.
  d. Dapat menempati bingkainya kembali dengan empat cara.
  e. Mempunyai 2 simetri lipat / sumbu simetri
Rumus persegi panjang
Persegi panjang.JPGKeliling
K = 2\cdot (p + l)
k : keliling2156 p : panjang l : lebar
Luas
L = p\cdot l
Panjang diagonal
d = \sqrt{p^2 + l^2}

Ø SEGITIGA



Segitiga adalah suatu bangun datar yang jumlah sudutnya 1800 dan dibentuk dengan cara
menghubungkan tiga buah titik yang tidak segaris dalam satu bidang.
Jenis-jenis Segitiga :
a. Segitiga Sama Sisi
Segitiga yang ketiga sisinya sama panjang
                               A
             Panjang AB = BC =CA
            ∠A = ∠B = ∠C = 600
∠A + ∠B + ∠C = 1800
                                              
b. Segitiga Sama Kaki
Segitiga yang mempunyai dua sudut yang sama dan dua buah sisi yang sama.


   

                          Panjang AC = CB
                            Sudut ∠ A = ∠B
                         ∠A + ∠B + ∠C = 1800

c. Segitiga Siku-siku
Segitiga yang salah satu sudutnya 900
∠A = 900




c. Segitiga Sembarang  
                                                          - Ketiga sisinya tidak sama panjang ( AB ≠ BC≠ AC )
                                                    - Ketiga sudutnya tidak sama besar ( ∠A ≠ ∠B ≠ ∠ C )
- ∠A + ∠B + ∠C = 1800
                                                          

    Rumus Segitiga
    Luas = ½ x a x t
    dengan a = panjang alas segitiga, dan t = tinggi segitiga
    Panjang sisi miring segitiga siku-siku dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)

Ø JAJAR GENJANG


   





Jajar genjang atau Jajaran genjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.
Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.
D


   
C


BA           

*      AB sejajar CD ( AB CD )AD sejajar BC ( AD BC )
*      sisi yang sejajar sama panjang  A B AB = CD ; AD = BC
*      Sudut ∠ A = ∠C ∠ B = ∠D
 Rumus jajar genjang
Keliling
K = 2\cdot alas + 2\cdot sisi miring
Luas
L = jumlah dua sisi sejajar \cdot tinggi





Ø TRAVESIUM


   





Trapesium adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua diantaranya saling sejajar namun tidak sama panjang.
Trapesium termasuk jenis bangun datar segi empat.
Trapesium yang rusuk ketiganya tegak lurus terhadap rusuk-rusuk sejajar disebut trapesium siku-siku.
Jenis-jenis travesium
Trapesium terdiri dari 3 jenis, yaitu:
1.      Trapesium sembarang, yaitu trapesium yang keempat rusuknya tidak sama panjang. Trapesium ini tidak memiliki simetri lipat maupun simetri putar.



2.       Trapesium sama kaki, yaitu trapesium yang mempunyai sepasang rusuk yang sama panjang, di samping mempunyai sepasang rusuk yang sejajar. Trapesium ini memiliki satu simetri lipat dan satu simetri putar.


3.       Trapesium siku-siku, yaitu trapesium yang mana dua di antara keempat sudutnya merupakan sudut siku-siku. Rusuk-rusuk yang sejajar tegak lurus dengan tinggi trapesium ini.





Rumus trapesium
Keliling
K = jumlahdarikeempatsisiyangada
Luas
L = \frac{JumlahRusukSejajar.tinggi}{2}\,


Ø LAYANG - LAYANG


   











Layang-layang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing pasangannya sama panjang dan saling membentuk sudut.
Layang-layang dengan keempat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.
Rumus Layang-layang
Keliling
K = 2\cdot s_1 + 2\cdot s_2
Luas
L= \tfrac{1}{2} \cdot d_1\cdot d_2



Ø BELAH  KETUPAT


   








Belah ketupat adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya.
Belah ketupat dapat dibangun dari dua buah segitiga sama kaki identik yang simetri pada alas-alasnya.
Rumus belah ketupat
Keliling
K = 4\cdot s
Luas
L = \tfrac{1}{2} \cdot d1 \cdot d2



Ø Oval: LINGKARAN


   




Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
BAGIAN-BAGIAN LINGKARAN
1.      Jari-jari lingkaran
Ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran ke sebarang titik pada lingkaran


2.      Busur Lisngkaran
Garis lengkung yang melalui titik-titik pada lingkaran




3.      Tali Busur
Ruas garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada lingkaran




4.      Diameter / Garis Tengah
Tali busur yang melalui pusat lingkaran. Panjang diameter sebuah lingkaran sama dengan dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut.

5.      Juring Lingkaran
Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran dan dua buah jari-jari lingkaran yang melalui ujung busur lingkaran tersebut




6.      Tembereng
Daerah lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran dan tali busur yang melalui kedua ujung busur lingkaran



7.      Apotema
Ruas garis terpendek yang menghubungkan pusat lingkaran ke sebuah titik pada tali busur.
Suatu lingkaran memiliki persamaan
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \!
dengan R\!adalah jari-jari lingkaran dan (x_0,y_0)\!adalah koordinat pusat lingkaran.
Persamaan parametrik
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
x = x_0 + R \cos(t) \!
y = y_0 + R \sin(t) \!
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran memiliki rumus
A = \pi R^2 \!
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dA = rd\theta\ dr


   
   
   

   

   
   






Luas juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;
A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!
dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.
Luas cincin lingkaran
Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam R_1\!dan jari-jari luar R_2\!, yaitu
A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!
di mana untuk R_1 = 0\!rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.
Luas potongan cincin lingkaran
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh
A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!
yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:
L = 2\pi R\!
Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
L = R \theta \!
yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva
dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!
di mana digunakan
y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!
sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda \pmmengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.
Pi atau π
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:
\pi = \frac K D







Rounded Rectangle: BANGUN RUANG

Ø KUBUS

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar. Kubus memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Kubus juga disebut bidang enam beraturan, selain itu juga merupakan bentuk khusus dalam prisma segiempat.
Ciri-ciri Kubus :
1.      Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang berbentuk bujur sangkar(ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,)
2.       Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H)
3.      Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang  (AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, AD, BC, EH, FG)
4.       Semua sudutnya siku-siku
5.       Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang(4 diagonal ruang = garis AG, BH, CE, DF12 diagonal bidang = garis AC,BD,EG,FH,AH,DE,BG,CF,AF,BE,CH,DG)







Volume (V) = s x s x s = s3
Luas (L) = 6 x s x s = 6 s2
Keliling = 12 x s
Panjang diagonal bidang = s2 + s2 = 2s2 = s 2
Panjang diagonal ruang = s2 + s2 + s2 = 3s2 = s 3


Ø BALOK



   










Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang, dengan paling tidak satu pasang diantaranya berukuran berbeda. Balok memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Balok yang dibentuk oleh enam persegi sama dan sebangun disebut sebagai kubus.

    Panjang (p) adalah rusuk terpanjang dari alas balok.
    Lebar (l) adalah rusuk terpendek dari sisi alas balok.
    Tinggi (t) adalah rusuk yang tegak lurus terhadap panjang dan lebar balok.

Ciri-ciri Balok :
1. Alasnya berbentuk segi empat
2. Terdiri dari 12 rusuk
3. Mempunyai 6 bidang sisi
4. Memiliki 8 titik sudut
5. Seluruh sudutnya siku-siku
6. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang

Volume = p x l x t
Luas = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt) }
Keliling = 4 x (p+ l + t)




Text Box: KET : diagonal bidang b-g diagonal ruang b-h Panjang diagonal ruang
d_R = \sqrt{(p^2+l^2+t^2)}
 Panjang diagonal bidang
d_{B1} = \sqrt{(p^2+l^2)}
d_{B2} = \sqrt{(p^2+t^2)}


Text Box: Ket: bidang diagonal a-b-g-h  Luas bidang diagonal
L_{B1} = d_{B1}\cdot t
L_{B2} = d_{B2}\cdot l
L_{B3} = d_{B3}\cdot p













Ø TABUNG


   







Dalam geometri, tabung atau silinder adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut. Tabung memiliki 3 sisi dan 2 rusuk.
Kedua lingkaran disebut sebagai alas dan tutup tabung serta persegi panjang yang menyelimutinya disebut sebagai selimut tabung.
Ciri-ciri :
1. Mempunyai 2 bidang sisi(1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)
2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut
*      Ada dua sisi, yaitu sisi alas dan sisi atas yang sama bentuk dan ukuran serta sejajar, masing-masing berbentuk lingkaran yang berpusat di A dan D.
*       Jarak alas dan tutup disebut tinggi tabung. Tinggi tabung dinotasikan dengan t.
*      Jari-jari lingkaran dari alas dan tutup adalah AB, sedangkan diameter nya BB' =2AB.
*      Jari-jari tabung dinotasikan dengan r, sedangkan diameter tabung dinotasikan dengan d
*      Selimut tabung merupakan bidang lengkung.
Unsur-unsur Tabung
Tabung memiliki 2 rusuk dan 3 sisi.
Jaring-jaring Tabung
Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:
a.       dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,
b.      Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_4.jpg satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.

Gambar 2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan atapnya yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.

Jaring-jaring tabung terdiri atas:
a.       Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t.
b.      Dua lingkaran dengan jari-jari r.
. Luas dan volume tabung
•Luas permukaan tabung atau luas tabung:
Luas selimutL = 2 \pi r \cdot t
Luas permukaan
L = luas sisi alas + luas sisi tutup + luas selimut
      tabung
  = π r2 + π r2 + 2 π r t

   = 2 π r2 + 2 π r t
   = 2 π r (r + t)

•Luas tabung tanpa tutup :
Ltanpa tutup = luas sisi alas + luas selimut
               = π r2 + 2 π r t
•Volume tabung :
V = luas alas x tinggi
   = π r2 x t
   = π r2 t
Ø KERUCUT


   

                                                             s
t



Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi dan 1 rusuk.
Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.
Ciri-ciri :
1. Mempunyai 2 bidang sisi(1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)
 2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut
Unsur-unsur kerucut adalah sebagai berikut.

    Sisi alas berbentuk lingkaran berpusat di titik A.
    AC disebut tinggi kerucut.
    Jari-jari lingkaran alas, yaitu AB dan diameternya BB' = 2AB.
    Sisi miring BC disebut apotema atau garis pelukis.
    Selimut kerucut berupa bidang lengkung.
    Kerucut memiliki 1 titik sudut, 1 rusuk dan 2 sisi .

Luas dan volume kerucut
 Luas permukaan kerucut atau luas kerucut :
L = luas sisi alas + luas selimut kerucut
   = π r2 + π r s
  = π r (r + s)
Volume kerucut :
V = 1/3 x luas alas x tinggi
    = 1/3 x π r2 x t
    = 1/3 π r2t
Ø PRISMA




Dalam geometri, prisma adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas dan tutup identik berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Dengan kata lain prisma adalah bangun ruang yang mempunyai penampang melintang yang selalu sama dalam bentuk dan ukuran.
Limas dengan alas dan tutup berbentuk persegi disebut balok sedangkan prisma dengan alas dan tutup berbentuk lingkaran disebut tabung.
Rumus Prisma
Luas permukaan
Luas permukaan prisma dengan alas dan tutup segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:
Text Box: L = 2 \cdot Luas Alas + Keliling Alas \cdot t
Volume
V = Luas Alas \cdot t









Ø LIMAS
Dalam geometri, limas adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga.
lingkaran.Kerucut dapat disebut sebagai limas dengan alas berbentuk  Limas dengan alas berupa persegi disebut juga piramida.
Ciri khas limas adalah memiliki bagian runcing di bagian atasnya sebagai titik puncak.
a.       Limas segitiga
Ciri-ciri :
1. Alasnya berbentuk segitiga
2. Mempunyai 4 bidang sisi (alas dan 3 sisi tegak)
3. Mempunyai 6 rusuk           
4. Mempunyai 4 titik sudut
b.      ALimas segiempat
Ciri-ciri :
1. Alasnya berbentuk segiempat (BCDE)
ED2. Mempunyai 5 bidang sisi(BCDE, ABC, ACD,ABEADE)
3. Mempunyai 5 titik sudut ( A, B,C,D,E)
CB4. Mempunyai 8 rusuk (AB, AC,AD,AE,BC,CD,DE,BE)
Luas permukaan
Luas permukaan limas dengan alas segi-n dapat dihitung dengan rumus berikut:



L = Luas Alas + n\cdot Luas Sisi Tegak
Volume
V = \frac{1}{3}\cdot Luas Alas \cdot t




Ø BOLA







Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.
Ciri-ciri :
 1. Hanya mempunyai 1 bidang sisi
2. Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk
Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter d, maka luas selimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:
Image:bangun_Ruang_SS_Lengkung_28.jpg








   
   
   

   
    MAKALAH MATEMATIKA


    BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG










000.jpg